点到平面的距离

创建时间：2022-04-15 | 更新时间：2022-04-23 | 阅读次数：2127 次

导读： 在三维空间，计算点到平面的距离，需要三个前置知识，请见下文的介绍。另外，还需要理解向量范数和向量点积在二维空间和三维空间的几何意义，对理解后文的推导也是直观重要的。

前置知识1：平面的一般式方程

$$Ax +By +Cz + D = 0$$

其中$n = (A, B, C)$是平面的法向量，$D$是将平面平移到坐标原点所需距离。当$D=0$时，平面过原点。

前置知识2：向量的范数

$$|| x || = \sqrt{[x,x]} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$$

可以定义向量的任意范数，但是如果不指定范数阶数，则都假设为2范数。向量[4,2,2]的2范数是：

$$\sqrt{4^2+2^2+2^2}$$

补充：向量范数的几何意义

向量范数的几何意义是长度，当然，在二维和三维空间中才有“长度”之说。此时，向量范数存在的意义是为了实现比较。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点2和1，我们知道2比1大，但是到了二维实数空间中，取两个点$(1,1)$和$(2,2)$，这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的$(1,1)$和$(2,2)$通过范数分别映射到实数$\sqrt{2}$和$\sqrt{8}$，这样我们就比较这两个点了。

提醒：范数使用双竖线，针对的对象是向量，要注意与绝对值进行区分，而绝对值使用单竖线，针对的对象是标量。

前置知识3：向量的点积（内积）

给定两个向量：

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

它们的内积是：$[x,y] = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n$

补充：向量点积的几何意义

设二维空间内有两个向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，$||\overrightarrow{a}||$和$||\overrightarrow{b}||$表示向量$a$和$b$的大小，它们的夹角为$\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$，则内积定义为以下实数：

$$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = ||\overrightarrow{a}|| \cdot || \overrightarrow{b}|| \cdot cos\theta$$

该几何意义只对二维和三维空间有效。这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上。注意：向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的。

进入主题1：在三维空间，计算点到平面的距离

有了上面的准备知识，下面我们开始求点到直线的距离，给定平面$A_x + B_y + C_y + D = 0$，求平面外一点$Q(x_0,y_0,z_0)$到平面的距离$d$，如下图所示：

解：任取平面内的一点$P(x,y,z)$连接$PQ$，过$P$做平面的法向量$ \overrightarrow{n}=(A,B,C)$，可知$Q$到平面的距离$d$恰好是$PQ$在法向量$\overrightarrow{n}$上的投影长度。

$$d = ||\overrightarrow{PQ}|| \cdot cos\theta$$

$$= \frac{||\overrightarrow{n}||}{||\overrightarrow{n}||} \cdot ||\overrightarrow{PQ}|| \cdot cos\theta $$

备注：乘以$\overrightarrow{n}$再除以$\overrightarrow{n}$，分子整好是$PQ$和$n$的内积，如下所示。

$$= \frac{PQ \bullet n}{||n||}$$

备注：$PQ=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$，展开如下。

$$= \frac{A(x_0-x)+B(y_0-y)+C(z-z_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

$$= \frac{Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax+By+Cz)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

备注：$P$在平面内，所以$Ax+By+Cz=-D$

$$= \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

备注：为保证结果为正，则加上绝对值号

$$= \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

进入主题2：在高维空间，计算点到平面的距离

根据上文的介绍：超平面的数学方程，我们知道：高维空间的超平面方程是$n$元一次方程：

$$w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b = 0 $$

用向量的形式表示上面的式子为：

$$ [w_1,w_2,...w_n] \bullet \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b => W^T \bullet X + b = 0$$

在三维以上的空间，非人类所能感知的空间，只能按照三维空间的距离计算公式，依葫芦画瓢，从而得到点到超平面的距离为：

$$ d = \frac{|W^T \bullet X + b|}{\sqrt{w_1^2+w_2^2+...+w_n^2}} = \frac{|W^T \bullet X + b|}{||W||}$$

数学是个极其严谨的领域，在高维空间，“距离”二字已经不再适用于高维空间，所以人们提出了一个更抽象的新的术语：几何间隔。