导读：合抱之木，生于毫末，这句话放在此文非常合适。超平面的数学方程，起源于法线向量的定义，然后延伸到三维空间中平面的点法式方程，随后再演化为三维空间中平面的一般方程，最后升华为超平面的数学方程。
如果一非零向量垂直于平面，这个向量就叫做该平面的法线向量。
由上述定义可知，平面上的任一向量均与该法线向量垂直。
因为过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于法线向量，所以当平面上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和法线向量$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$已知时，平面的位置就完全确定了。
设$M(x,y,z)$是平面上的任一点，那么向量$\overrightarrow{M_0M}$必与平面的法线向量$n$垂直，即它们的数量积等于零：
$$n \bullet \overrightarrow{M_0M}=0 $$
由于：
$n=(A,B,C)$
$\overrightarrow{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, y-y_0)$
所以有：
$$A(x-x_0)+ B(y-y_0)+ C(z-z_0)=0 \to (1)$$
由于方程式中带有特殊点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，所以这个方程不具有普遍性，还需要进一步推导平面的一般方程，请继续看下文。
由于平面的点法式方程是$x,y,z$的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。反过来，设有三元一次方程：
$$Ax + By + Cz + D = 0 \to (2)$$
我们任取满足该方程的一组数$x_0,y_0,z_0$，即：
$$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 \to (3)$$
把上述两式相减，得：
$$A(x-x_0)+ B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \to (4) $$
把方程(4)和方程(1)作比较，可以知道方程(4)的含义：它是通过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$且以$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$为法线向量的平面方程。
因为方程(2)与方程(4)同解，理由是：由方程(2)减去方程(3)即得方程(4)，而方程(4)加上方程(3)再返回为方程(2)，这是一种完全可逆的情况。由此可知，任一三元一次方程(2)的图形也总是一个平面。至此，我们推导出了平面的一般方程，也就是上文中的方程(2)，其中$x$、$y$、$z$的系数就是该平面的一个法线向量$\overrightarrow{n}$的坐标，即$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$。
三维空间的平面方程是三元一次方程：
$$Ax + By + Cz + D = 0 $$
由此可以推理出：高维空间的超平面方程是$n$元一次方程：
$$w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b = 0 $$
用向量的形式表示上面的式子为：
$$ [w_1,w_2,...w_n] \bullet \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b => W^T \bullet X + b = 0$$
备注：因为通常都是列向量，所以加以T转置以表示行向量，可以参考 列向量的表示法